THE PARABOLIC TRIGONOMETRIC IDENTITIES USING DUAL NUMBERS AND THEIR APPLICATIONS.

المقال يركز على اشتقاق الهويات المثلثية القطعية باستخدام الأعداد الثنائية وتطبيقاتها في مجالات متنوعة. يثبت النسخ القطعية من هويات أويلر وبيثاغورس، مع إجراء مقارنات مع الهويات البيضاوية والفرعية، ويستخدم تمثيلات المصفوفات وتحويل كايل لإنشاء مصفوفات دوران خاصة بالحالة القطعية. كما يناقش البحث التطبيقات العملية لهوية أويلر القطعية في مجالات مثل النسبية الجاليليّة وميكانيكا هاملتون، مقترحًا تداعيات على الهندسة القطعية غير الإقليدية. بالإضافة إلى ذلك، يتضمن تجميعًا للمراجع حول مواضيع رياضية مثل الميكانيكا الكلاسيكية، الجبر، والهندسة، ويضم أعمالًا لمؤلفين مختلفين ويعمل كمصدر للباحثين المهتمين بالمفاهيم الرياضية المتقدمة. [Extracted from the article]

Analogous to complex numbers, we have derived the parabolic trigonometric identities using dual numbers. Using the exponential function, we have derived the equation of the parabolic Euler's identity. We have developed the matrix representation of the commonly known elliptic and hyperbolic Euler's identities, and used the same technique to develop matrix representation for the parabolic one. These matrices correspond to the rotation matrices in each case. To develop the parabolic Pythagorean identity, we have created another form of the rotation matrices using the Cayley transformation. Using the Pythagorean identity, we have defined the parabolic "unit circle", similar to the elliptic and hyperbolic ones. Lastly, we have discussed some practical applications of the Euler's identity involving both its equation and matrix form. [ABSTRACT FROM AUTHOR]

Copyright of Palestine Journal of Mathematics is the property of Palestine Polytechnic University and its content may not be copied or emailed to multiple sites without the copyright holder's express written permission. Additionally, content may not be used with any artificial intelligence tools or machine learning technologies. However, users may print, download, or email articles for individual use. This abstract may be abridged. No warranty is given about the accuracy of the copy. Users should refer to the original published version of the material for the full abstract. (Copyright applies to all Abstracts.)