Математическое моделирование нелинейных волн в соосных оболочках, заполненных вязкой жидкостью

В современной волновой динамике известны математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически и физически нелинейных оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость. Они получены на базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости, в виде обобщенных уравнений Кортевега де Вриза (КдВ). Также методом возмущений по малому параметру задачи получены математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках, отличающиеся от известных учетом наличия несжимаемой вязкой жидкости между оболочками. На основе связанных задач гидроупругости, которые описываются уравнениями динамики оболочек и несжимаемой вязкой жидкости с соответствующими краевыми условиями, получены системы обобщенных уравнений КдВ. В представленной работе проведено исследование модели волновых явлений двух физически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочек типа Кирхгофа Лява, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, как между ними, так и внутри. Для рассмотренных систем уравнений с учетом влияния жидкости с помощью построения базиса Грёбнера получены разностные схемы типа Кранка Николсона. Для генерации этих разностных схем использованы базовые интегральные разностные соотношения, которые аппроксимируют исходную систему уравнений. Применение техники базисов Грёбнера позволяет генерировать схемы, для которых с помощью эквивалентных преобразований можно получить дискретные аналоги законов сохранения исходных дифференциальных уравнений. На основе разработанного вычислительного алгоритма создан комплекс программ, позволяющий построить графики и получить численные решения задач Коши при точных решениях системы уравнений динамики соосных оболочек в качестве начального условия.
There exist wave motion mathematical models in infinitely long geometrically nonlinear shells filled with viscous incompressible liquid. They are based on related hydroelasticity problems, described by dynamics and viscous incompressible liquid equations in the form of generalized KdV equations. Mathematical models of wave process in infinitely long geometrically nonlinear coaxial cylindrical shells are obtained by means of the small parameter perturbation method. The problems differ from the already known ones by the consideration of viscous incompressible liquid presence. The system of generalized KdV equations is obtained on the basis of related hydroelasticity problems, described by shell dynamics and viscous incompressible liquid equations with corresponding boundary conditions. This paper deals with investigating of wave occurrence model of the two geometrically and physically nonlinear elastic coaxial cylindrical Kirchhoff Love type shells containing viscous incompressible liquid between and inside them. The difference Crank Nicholson type schemes aimed at investigating equations systems with the consideration of liquid impact are obtained with the help of Gro¨ bner basis construction. To generate these difference schemes, basic integral difference correlations, approximating the initial equations system, are used. The use of Gro¨ bner basis techniques makes it possible to generate the schemes allowing to obtain discrete preservation laws analogues to the initial differential equations. To do this, equivalent transformations were made. On the basis of computational algorithm the software allowing to construct graphs and to obtain Cauchy problem numerical solution was developed, using the exact solutions of the coaxial shell dynamics equations system as an initial condition.