Hardy inequalities on graphs ; Hardy-Ungleichungen auf Graphen

Die Dissertation befasst sich mit einer zentralen Ungleichung der nicht-linearen Potentialtheorie, der Hardy-Ungleichung. Sie besagt, dass das nicht-lineare Energiefunktional von unten durch eine p-te Potenz einer gewichteten p-Norm abgeschätzt werden kann, p>1. Das Energiefunktional besteht dabei aus einem Divergenz- und einem beliebigen Potentialteil. Als zugrundeliegender Raum wurden hier lokal summierbare unendliche Graphen gewählt. Bisherige Veröffentlichungen zu Hardy-Ungleichungen auf Graphen haben vor allem den Spezialfall p=2 betrachtet, oder lokal endliche Graphen ohne Potentialteil. Zwei grundlegende Fragestellungen ergeben sich nun ganz natürlich: Für welche Graphen gibt überhaupt es eine Hardy-Ungleichung? Und, wenn es sie gibt, gibt es einen Weg um ein optimales Gewicht zu erhalten? Antworten auf diese Fragen werden in Theorem 10.1 und Theorem 12.1 gegeben. Theorem 10.1 gibt eine Reihe an Charakterisierungen an; unter anderem gibt es eine Hardy-Ungleichung auf einem Graphen genau dann, wenn es eine Greensche Funktion gibt. Theorem 12.1 gibt eine explizite Formel an, um optimale Hardy-Gewichte für lokal endliche Graphen unter einigen technischen Zusatzannahmen zu berechnen. In Beispielen wird gezeigt, dass Greensche Funktionen gute Kandidaten sind um in die Formel eingesetzt zu werden. Um diese beiden Theoreme beweisen zu können, müssen eine Vielzahl an Techniken erarbeitet werden, welche in den ersten Kapiteln behandelt werden. Dabei sind eine Verallgemeinerung der Grundzustandstransformation (Theorem 4.1), ein Agmon-Allegretto-Piepenbrink-artiges Resultat (Theorem 6.1) und das Vergleichsprinzip (Proposition 7.3) besonders hervorzuheben, da diese Resultate sehr häufig angewendet werden und somit das Fundament der Dissertation bilden. Es wird zudem darauf Wert gelegt die Theorie durch Beispiele zu veranschaulichen. Hierbei wird der Fokus auf die natürlichen Zahlen, Euklidische Gitter, Bäume und Sterne gelegt. Als Abschluss werden noch eine nicht-lineare Version der Heisenbergschen ...