Rational points in their fiber: complements to a Poonen theorem ; Points rationnels dans leur fibre: compléments à un théorème de Poonen

International audience ; Let f : X → S be a morphism of integral schemes, which is surjective and of finite presentation. When S is of finite type over a field or over Z, of positive dimension, Poonen has shown that there is a point x ∈ X whose residue field κ(x) is purely inseparable over κ(f(x)). In this paper, we extend this result in several ways. First we prove that we can take x such that f(x) is a codimension 1 point of S; if S is smooth over a fiel k, we can require κ(f(x)) to be separable over k. In another direction, we prove that similar results hold for other schemes S, such as noetherian integral schemes of dimension ≥ 2. ; Soit f : X → S un morphisme surjectif et de présentation finie de schémas intègres. Lorsque S est de type fini sur un corps ou sur Z, et de dimension > 0, Poonen a montré qu’il existe un point x ∈ X dont le corps résiduel κ(x) est une extension radicielle de κ(f(x)). Dans ce travail, on prolonge ce résultat de plusieurs façons. D’abord, on peut choisir x tel que f (x) soit un point de codimension 1 de S ; si S est lisse sur un corps k, on peut exiger que κ(f(x)) soit séparable sur k. Dans une autre direction, on montre des résultats analogues pour d’autres classes de schémas S, par exemple les schémas noethériens intègres de dimension ≥ 2.