Contributors: DTIS, ONERA, Université Paris Saclay Palaiseau; ONERA-Université Paris-Saclay; SIMulation pARTiculaire de Modèles Stochastiques (SIMSMART); Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR); Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes); Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-Institut National des Sciences Appliquées (INSA)-École normale supérieure - Rennes (ENS Rennes)-Université de Rennes 2 (UR2)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-INSTITUT AGRO Agrocampus Ouest; Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Université de Rennes (UR)-Institut National des Sciences Appliquées - Rennes (INSA Rennes); Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Institut national d'enseignement supérieur pour l'agriculture, l'alimentation et l'environnement (Institut Agro)-Inria Rennes – Bretagne Atlantique; Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria); ANR-11-LABX-0020,LEBESGUE,Centre de Mathématiques Henri Lebesgue : fondements, interactions, applications et Formation(2011)
Abstract: International audience ; In this communication, we address the problem of approximating the atoms of a parametric dictionary A = {a(θ) : θ ∈ Θ}, commonly encountered in the context of sparse representations in "continuous" dictionaries. We focus on the case of translation-invariant dictionaries, where the inner product between a(θ) and a(θ) only depends on the difference θ − θ. We investigate the following general question: is there some lowrank approximation of A which interpolates a subset of atoms {a(θj)} J j=1 while preserving the translation-invariant nature of the original dictionary? We derive necessary and sufficient conditions characterizing the existence of such an "interpolating" and "translation-invariant" low-rank approximation. Moreover, we provide closed-form expressions of such a dictionary when it exists. We illustrate the applicability of our results in the case of a two-dimensional isotropic Gaussian dictionary. We show that, in this particular setup, the proposed approximation framework outperforms standard Taylor approximation.
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