The Schrödinger problem and its links with functional inequalities ; Le problème de Schrödinger et ses liens avec les inégalités fonctionnelles

The Schrödinger problem was born in the thirties in two papers of the eponymous physicist. The question is the following, if we observe a large number of Brownian particles at two instants, can we find the intermediate positions of the particle cloud? In the modern probability formalism, the problem can be rewritten as an entropy minimization problem. The discovery of the convergence of the Schrödinger problem to the Monge-Kantorovitch problem in short time i, has generated intense work. At the beginning of this manuscript we will focus on the longtime convergence of the problem. We will show the convergence of the optimal trajectories to the solutions of the heat equation, on a Riemannian manifold, under different assumptions on the curvature and the dimension of the manifold. From another point of view, the Schrödinger problem is a powerful tool to prove functional inequalities. We will see in this manuscript how the Schrödinger problem gives an interesting interpretation of local logarithmic Sobolev inequalities. Finally, we are interested in the regularity properties of the optimal value of the Schrödinger problem with respect to the initial and final distributions of the particles. We show a first continuity properties, to obtain new hypotheses for existing theorems. Finally we give a formula for the time derivative of this optimal value along a sufficiently regular curve. ; Le problème de Schrödinger est né dans les années trente dans des papiers du physicien éponyme. La question est la suivante: si on observe un grand nombre de particules browniennes à deux instants, peut-on trouver les positions intermédiaires du nuage de particules? Dans le formalisme des probabilités modernes, le problème se réécrit comme un problème de minimisation entropique. La découverte, au début des années 2000, de la convergence du problème de Schrödinger vers le problème de Monge-Kantorovitch en temps court a généré d'intenses travaux. Au début de ce manuscrit on s'intéressera à la convergence du problème en temps long. On ...